ⓘ Lemniscata de Bernoulli. En geometría, la lemniscata de Bernoulli es una curva plana unicursal definida a partir de dos puntos dados F 1 y F 2, conocidos como f ..

                                     

ⓘ Lemniscata de Bernoulli

En geometría, la lemniscata de Bernoulli es una curva plana unicursal definida a partir de dos puntos dados F 1 y F 2, conocidos como focos, situados a una distancia de 2 d entre sí, como el lugar geométrico de los puntos P tales que el producto de su distancia a los dos focos es constante y vale d 2:

PF 1 PF 2 = d 2

La curva posee una forma similar al número 8 y al símbolo del ∞. El símbolo del infinito en sí mismo es a veces llamado lemniscata. Su representación en Unicode es ∞, correspondiente al código #8734.

Es tanto un caso especial del óvalo de Cassini como una curva algebraica racional de grado 4. Lleva el nombre del matemático y físico suizo Jakob Bernoulli.

                                     

1. Etimología

Su nombre en latín, lemniscatus, hace referencia a un objeto "decorado con cintas colgantes". ​

                                     

2. Historia

La lemniscata de Bernoulli es parte de una familia de curvas descritas por Jean-Dominique Cassini en 1680, los óvalos de Cassini. Fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como una modificación de una elipse, que es el lugar geométrico de los puntos para los que la suma de las distancias a cada uno de los dos "puntos focales" fijos es constante. Un óvalo de Cassini, por el contrario, es el lugar de los puntos para los que el producto de estas distancias es constante. En el caso de que la curva pase por el punto intermedio entre los dos focos, el óvalo es una lemniscata de Bernoulli.

El problema de la longitud de los arcos de la lemniscata fue tratado por Giulio Carlo de Toschi di Fagnano en 1750. Halló el área limitada por esta curva y usó la figura de la lemniscata en la portada de su obra con la leyenda "Multifariam divisa atque dimensa. Deo veritatis gloria" Dividida muchas veces y medida. Gloria al Dios de la verdad. ​

                                     

3. Generación gráfica

Esta curva se puede obtener como la inversión de una hipérbola equilátera, situando la circunferencia que define la inversión con su centro coincidente con el centro de la hipérbola el punto medio de sus dos focos. También puede dibujarse con un acoplamiento mecánico en forma de mecanismo de Watt, con las longitudes de las tres barras del enlace y la distancia entre sus puntos finales elegidos para formar un cuadrado antiparalelogramo. ​

                                     

4. Ecuaciones

  • Su ecuación en coordenadas cartesianas es excluidas traslación y rotación: x 2 + y 2 = 2 d 2 x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}^{2}=2d^{2}x^{2}-y^{2}\,}
  • Su ecuación explícita es
y = ± d 1 + 4 x d 2 − }}~~\left|x|\leq d{\sqrt {2}}\right}
  • Su ecuación en el plano complejo es: | z 2 − d 2 | = d 2 {\displaystyle |z^{2}-d^{2}|=d^{2}\,}
  • En coordenadas polares: r 2 = 2 d 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=2d^{2}\cos 2\theta \,}
  • Como ecuación paramétrica: x = d 2 cos ⁡ t sin 2 ⁡ t + 1 ; y = d 2 cos ⁡ t sin ⁡ t sin 2 ⁡ t + 1 {\displaystyle x={\frac {d{\sqrt {2}}\cost}{\sin ^{2}t+1}};\qquad y={\frac {d{\sqrt {2}}\cost\sint}{\sin ^{2}t+1}}}
  • En coordenadas polares: Q = 2 s − 1 {\displaystyle Q=2s-1\,}
  • En coordenadas bicéntricas: r ′ = d 2 {\displaystyle rr=d^{2}\,}

Derivadas

Se calculan diferenciando la función implícita

x 2 + y 2 = 2 d 2 x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}^{2}=2d^{2}x^{2}-y^{2}\,}


                                     

5.1. Propiedades Ejes

Para una lemniscata con distancia d {\displaystyle d} desde un foco al origen, se tiene que:

a = 2 d {\displaystyle a={\sqrt {2}}\;d} semieje horizontal b = d / 2 {\displaystyle b=d/2} semieje vertical
                                     

5.2. Propiedades Área

El área delimitada por la lemniscata de Bernoulli es: ​

  • El matemático italiano Gian Francesco Malfatti descubrió que una bola que rueda sobre un arco de lemniscata bajo la influencia de la gravedad, tardará el mismo tiempo en descender que una bola que recorra el segmento rectilíneo que conecta los puntos extremos del arco.
  • La lemniscata es simétrica la línea que conecta sus focos F 1 y F 2 y también la mediatriz del segmento de línea F 1 F 2.
  • La lemniscata es simétrica con respecto al punto medio del segmento F 1 F 2.
  • La lemniscata es la inversión de una hipérbola y viceversa.
  • La sección transversal plana de un toro estándar tangente a su ecuador interno es una lemniscata.
  • Las dos tangentes en el punto medio O son ortogonales y cada una de ellas forma un ángulo de π 4 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}} con una línea que conecta F 1 y F 2.


                                     

6. Demostraciones

NOTA:

En las demostraciones siguientes, se utiliza una notación ligeramente distinta, para adaptarse la rotulación de los gráficos. Los focos F 1 y F 2 pasan a denominarse F y F, y los puntos P de la curva, se designan como M.

Como ya se ha señalado, una lemniscata de Bernoulli es el conjunto de puntos M que verifican la relación:

M F × M F ′ = O F 2 {\displaystyle {\rm {MF\times MF=OF^{2}}}}

donde F y F′ son dos puntos fijos y O su punto medio. Los puntos F y F′ se denominan focos de la lemniscata, y O es su centro.

Alternativamente, se puede definir una lemniscata de Bernoulli como el conjunto de puntos M que satisfacen la relación:

| M F − M F ′ | = O M 2. {\displaystyle {\rm {|MF-MF|=OM\,{\sqrt {2}}.}}}

La primera relación se llama "ecuación bipolar", y la segunda "ecuación tripolar".

La curva así definida pertenece la familia de las lemniscatas curvas en forma de 8, de las cuales es el ejemplo más conocido y el más rico en propiedades. Por su definición, es el ejemplo más notable de óvalo de Cassini. También representa la sección de un toro particular por un plano tangente a su ecuador interior.



                                     

7. Relación entre las ecuaciones en diferentes sistemas de coordenadas

Mediante la semidistancia focal OF= d

Sea OF = d. En coordenadas polares el eje polar es OF, la lemniscata de Bernoulli admite la ecuación:

ρ 2 = 2 d 2 cos ⁡ 2 θ − π 4 ≤ θ }}~~|x|\leq a}

pero generalmente es más conveniente manipular la ecuación implícita que usar esta expresión explícita de y.