ⓘ I de Moran. En estadística, la I de Moran es una medida de autocorrelación espacial desarrollada por Patrick Alfred Pierce Moran. ​ La autocorrelación espacial ..

                                     

ⓘ I de Moran

En estadística, la I de Moran es una medida de autocorrelación espacial desarrollada por Patrick Alfred Pierce Moran. ​ La autocorrelación espacial se caracteriza por la correlación de una señal entre otras regiones en el espacio. La autocorrelación espacial es más compleja que una dimensión de autocorrelación debido a que la correlación espacial es multi-dimensionales y multi-direccional.

                                     

1. Definición

La I de Moran se define:

I = N ∑ i ∑ j w i j ∑ i ∑ j w i j X i − X ¯ X j − X ¯ ∑ i X i − X ¯ 2 {\displaystyle I={\frac {N}{\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}}}{\frac {\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}X_{i}-{\bar {X}}X_{j}-{\bar {X}}}{\sum _{i}X_{i}-{\bar {X}}^{2}}}}

donde N {\displaystyle N} es el número de unidades espaciales indexados por i {\displaystyle i} y j {\displaystyle j} ; X {\displaystyle X} es la variable de interés; X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} es la media de X {\displaystyle X} ; y w i j {\displaystyle w_{ij}} es un elemento de una matriz de pesos espaciales.

El valor esperado de la I de Moran bajo la hipótesis nula de no autocorrelación espacial es

E I = − 1 N − 1 {\displaystyle EI={\frac {-1}{N-1}}}

Su varianza es igual

Var ⁡ I = N S 4 − S 3 S 5 N − 1 N − 2 N − 3 ∑ i ∑ j w i j 2 {\displaystyle \operatorname {Var} I={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{N-1N-2N-3\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}^{2}}}}

donde

S 1 = 1 2 ∑ i ∑ j w i j + w j i 2 {\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}+w_{ji}^{2}} S 2 = ∑ i ∑ j w i j + ∑ j w j i 2 1 {\displaystyle S_{2}={\frac {\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}+\sum _{j}w_{ji}^{2}}{1}}} S 3 = N − 1 ∑ i x i − x ¯ 4 N − 1 ∑ i x i − x ¯ 2) 2 {\displaystyle S_{3}={\frac {N^{-1}\sum _{i}x_{i}-{\bar {x}}^{4}}{N^{-1}\sum _{i}x_{i}-{\bar {x}}^{2})^{2}}}} S 4 = N 2 − 3 N + 3 S 1 − N S 2 + 3 ∑ i ∑ j w i j 2 1 {\displaystyle S_{4}={\frac {N^{2}-3N+3S_{1}-NS_{2}+3\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}^{2}}{1}}} S 5 = S 1 − 2 N S 1 + 6 ∑ i ∑ j w i j 2 1 {\displaystyle S_{5}=S_{1}-2NS_{1}+{\frac {6\sum _{i}\sum _{j}w_{ij}^{2}}{1}}}

Los valores negativos positivos indican negativo positivo de autocorrelación espacial. Los valores oscilan entre -1 indicando dispersión perfecta a 1 correlación perfecta. Un valor de cero indica un patrón espacial aleatoria. Para las pruebas de hipótesis estadísticas, los valores de Moran I pueden ser transformados la Z-score en el que los valores superiores a 1.96 o menor que -1.96 indican autocorrelación espacial que es significativo al nivel del 5%.

I de Moran es inversamente proporcional a C de Geary, pero no es idéntica. De Moran I es una medida de autocorrelación espacial global, mientras que C de Geary es más sensible la autocorrelación espacial local.

                                     

2. Usos

El I de Moran es ampliamente utilizado en los campos de geografía y ciencia de los CI. Algunos ejemplos incluyen:

  • El análisis de las diferencias geográficas en las variables de salud. ​