ⓘ Teorema de Bézout. El teorema de Bezout, atribuido a Étienne Bézout ​ afirma que dos curvas algebraicas proyectivas planas C, D {\displaystyle C,D} de grados m ..

                                     

ⓘ Teorema de Bézout

El teorema de Bezout, atribuido a Étienne Bézout ​ afirma que dos curvas algebraicas proyectivas planas C, D {\displaystyle C,D} de grados m y n, definidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k {\displaystyle k} y sin componente irreductible común, tienen exactamente mn puntos de intersección contados con su multiplicidad.

La forma débil del teorema dice que el número de intersecciones sin tener en cuenta las multiplicidades está acotado por m n {\displaystyle mn}. Es decir, si F, G {\displaystyle F,G} son dos polinomios homogéneos con coeficientes en k {\displaystyle k} con C = V + F {\displaystyle C=V_{+}F} y D = V + G {\displaystyle D=V_{+}G} ​) de grados respectivos m, n {\displaystyle m,n} y sin ningún factor común, entonces el sistema

F x, y, z = 0, G x, y, z = 0 {\displaystyle Fx,y,z=0,\ Gx,y,z=0}

admite a lo más m n {\displaystyle mn} soluciones en el plano proyectivo P 2 k {\displaystyle P^{2}k}.

                                     

1. Historia

El principio de que una curva con grado n se interseca con una de grado m en nm puntos fue supuesto verdadera por varios matemáticos. El primero en haberlo enunciado parece haber sido Isaac Newton en 1665 en The geometrical construction of equations. ​

                                     

2. Enunciado

Si C y D son curvas algebraicas y P ∈ C ∩ D {\displaystyle P\in C\cap D}, el número de intersección entre C y D en P es intuitivamente la cantidad de derivadas en las que coinciden ambas curvas en ese punto. Por ejemplo, si las tangentes de C y D en P no coinciden entonces I P C, D = 1 {\displaystyle I_{P}C,D=1}, si las tangentes coinciden entonces I P C, D ≥ 2 {\displaystyle I_{P}C,D\geq 2}.

Decimos que dos curvas C y D no tienen factores en común si el máximo común divisor entre los polinomios que definen a las curvas es 1.

Teorema: Si C y D son curvas de grado m y n sin factores en común entonces ∑ P ∈ C ∩ D I P C, D = m ⋅ n. {\displaystyle \sum _{P\in C\cap D}I_{P}C,D=m\cdot n.}

Los puntos de la intersección son en el plano proyectivo.