ⓘ Teorema de reversión de Lagrange. Esta página es sobre el Teorema de reversión de Lagrange. Para la inversión, véase el Teorema de inversión de Lagrange. En mat ..

                                     

ⓘ Teorema de reversión de Lagrange

Esta página es sobre el Teorema de reversión de Lagrange. Para la inversión, véase el Teorema de inversión de Lagrange.

En matemáticas, el teorema de la reversión de Lagrange nos da la expansión en serie de potencias o en serie formal de potencias de ciertas funciones implícitamente definidas, de hecho, de composiciones de tales funciones.

Sea v {\displaystyle v} una función de x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} definida a partir de otra función f {\displaystyle f} tal que

v = x + y f v {\displaystyle v=x+yfv}

Entonces, cualquier función g v {\displaystyle gv} se puede desarrollar en serie de Taylor alrededor de v = x {\displaystyle v=x} para y {\displaystyle y} pequeño, es decir, se tiene

g v = g x + ∑ k = 1 ∞ y k k! ∂ ∂ x k − 1 f x k g ′ x) {\displaystyle gv=gx+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left{\frac {\partial }{\partial x}}\right^{k-1}\leftfx^{k}gx\right)}

Si g v {\displaystyle gv} es la función identidad, es decir, g v = v {\displaystyle gv=v},

v = x + ∑ k = 1 ∞ y k k! ∂ ∂ x k − 1 f x k) {\displaystyle v=x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left{\frac {\partial }{\partial x}}\right^{k-1}\leftfx^{k}\right)}

En 1770, Joseph Louis Lagrange 1736–1813 publicó su solución en serie de potencias de la ecuación implícita de v {\displaystyle v} antes mencionada. Sin embargo, su solución era algo engorrosa, pues utilizó desarrollos en serie de logaritmos. ​

El teorema de reversión de Lagrange se usa para obtener solucciones numéricas de la ecuación de Kepler.