ⓘ Producto de Wallis. En matemáticas, se conoce como producto de Wallis una expresión utilizada para representar el valor de π que fue descubierta por John Wallis ..

                                     

ⓘ Producto de Wallis

En matemáticas, se conoce como producto de Wallis una expresión utilizada para representar el valor de π que fue descubierta por John Wallis en 1655 y que establece que:

∏ n = 1 ∞ 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = π 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}

                                     

1. Demostración

Antes que nada se debe considerar que las raíces de sinx/x son ±nπ, donde n = 1, 2, 3. Entonces, se puede expresar el seno como un producto infinito de factores lineales de sus raíces:

sin ⁡ x = k 1 − x π 1 + x π 1 − x 2 π 1 + x 2 π 1 − x 3 π 1 + x 3 π ⋯ donde k es~una~constante {\displaystyle {\frac {\sinx}{x}}=k\left1-{\frac {x}{\pi }}\right\left1+{\frac {x}{\pi }}\right\left1-{\frac {x}{2\pi }}\right\left1+{\frac {x}{2\pi }}\right\left1-{\frac {x}{3\pi }}\right\left1+{\frac {x}{3\pi }}\right\cdots \qquad \ {\textrm {donde}}~k~{\textrm {es~una~constante}}}

Para encontrar la constante k, se toma el límite en ambos lados:

lim x → 0 sin ⁡ x = lim x → 0 k 1 − x π 1 + x π 1 − x 2 π 1 + x 2 π 1 − x 3 π 1 + x 3 π ⋯) = k {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sinx}{x}}=\lim _{x\to 0}\leftk\left1-{\frac {x}{\pi }}\right\left1+{\frac {x}{\pi }}\right\left1-{\frac {x}{2\pi }}\right\left1+{\frac {x}{2\pi }}\right\left1-{\frac {x}{3\pi }}\right\left1+{\frac {x}{3\pi }}\right\cdots \right)=k}

Sabiendo que:

lim x → 0 sin ⁡ x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sinx}{x}}=1}

Se hace k=1. Obtenemos la fórmula de Euler-Wallis para el seno:

sin ⁡ x = 1 − x π 1 + x π 1 − x 2 π 1 + x 2 π 1 − x 3 π 1 + x 3 π ⋯ {\displaystyle {\frac {\sinx}{x}}=\left1-{\frac {x}{\pi }}\right\left1+{\frac {x}{\pi }}\right\left1-{\frac {x}{2\pi }}\right\left1+{\frac {x}{2\pi }}\right\left1-{\frac {x}{3\pi }}\right\left1+{\frac {x}{3\pi }}\right\cdots }

sin ⁡ x = 1 − x 2 π 2 1 − x 2 4 π 2 1 − x 2 9 π 2 ⋯ {\displaystyle {\frac {\sinx}{x}}=\left1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right\left1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right\left1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right\cdots }

Haciendo x=π/2, se obtiene:

1 π / 2 = 1 − 1 2 1 − 1 4 2 1 − 1 6 2 ⋯ = ∏ n = 1 ∞ 1 − 1 4 n 2 {\displaystyle {\frac {1}{\pi /2}}=\left1-{\frac {1}{2^{2}}}\right\left1-{\frac {1}{4^{2}}}\right\left1-{\frac {1}{6^{2}}}\right\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }1-{\frac {1}{4n^{2}}}}

π 2 = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 − 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}}

= ∏ n = 1 ∞ 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋯ {\displaystyle =\prod _{n=1}^{\infty }\left{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots }