ⓘ Recta de Simson en relación a un triángulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares a los lados del triángulo, trazadas desde un punto de la c ..

                                     

ⓘ Recta de Simson

Recta de Simson en relación a un triángulo es cualquier recta que une los pies de las perpendiculares a los lados del triángulo, trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita. Estas rectas reciben su nombre en honor a Robert Simson aunque los historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría. Dado que la primera publicación conocida en la que aparecen estas rectas, fechada en 1797 y perteneciente a William Wallace, en ocasiones se denomina a estas rectas como rectas de Wallace-Simson. ​

                                     

1. Teorema de Wallace-Simson

En general, si se trazan perpendiculares desde un punto cualquiera del plano exterior o interior al triángulo, los pies de dichas perpendiculares no son colineales sino que forman un triángulo denominado triángulo pedal. La colinealidad de los tres pies de las perpendiculares es característica de los puntos de la circunferencia circunscrita:

Es decir, no sólo los pies de las perpendiculares trazados desde un punto en la circunferencia circunscrita son colineales, sino que estos puntos son los únicos que poseen dicha propiedad.

                                     

2. Propiedades

  • La línea de Simson de un vértice del triángulo es la altura del triángulo trazada desde ese mismo vértice.
  • El ángulo formado entre las rectas de Simson de dos puntos P, Q es exactamente igual la mitad del ángulo central del arco PQ.
  • La envolvente de todas las líneas de Simson es un deltoide denominado deltoide de Steiner.
  • La línea de Simson de un punto diametralmente opuesto a un vértice es el lado formado por los otros dos vértices.
  • La línea de Simson de un punto P pasa por el punto medio del segmento PH, donde H representa el ortocentro del triángulo. Además, dicho punto de intersección está sobre la circunferencia de los nueve puntos.