ⓘ Serie de Taylor. En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios ..

                                     

ⓘ Serie de Taylor

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como n {\displaystyle ^{n}} llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a {\displaystyle a} suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. la serie centrada sobre el punto cero, a = 0 {\displaystyle a=0}, se le denomina también serie de Maclaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

  • se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
  • la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
  • es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x véase Serie de Laurent. Por ejemplo f x = exp−1/ x ² se puede desarrollar como serie de Laurent.

                                     

1. Definición

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ x infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

f a + f ′ a 1! x − a + f ″ a 2! x − a 2 + f 3 a 3! x − a 3 + ⋯ {\displaystyle fa+{\frac {fa}{1!}}x-a+{\frac {fa}{2!}}x-a^{2}+{\frac {f^{3}a}{3!}}x-a^{3}+\cdots }

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:

∑ n = 0 ∞ f n a n! x − a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{n}a}{n!}}x-a^{n}\,},

donde:

  • n! es el factorial de n
  • f n a denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto x − a 0 como 0! {\displaystyle 0!} son ambos definidos como 1 0! {\displaystyle 0!} = 1. En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de McLaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma ∑ a n x − a n {\displaystyle \sum _{}^{}a_{n}x-a^{n}} siempre se puede hacer el cambio de variable z = x − a {\displaystyle z=x-a} con lo que x = z + a {\displaystyle x=z+a} en la función a desarrollar original para expresarla como ∑ a n z n {\displaystyle \sum _{}^{}a_{n}z^{n}} centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función f x = x ln ⁡ x {\displaystyle fx=x\ln x} alrededor de a = 1 se puede tomar z = x − 1 {\displaystyle z=x-1}, de manera que se desarrollaría f z + 1 = z + 1 ln ⁡ z + 1 {\displaystyle fz+1=z+1\lnz+1} centrada en 0.

                                     

2. Historia

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito. ​ A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quien publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

                                     

3. Función analítica

Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo a-r, a+r y la suma es igual a f x, entonces la función f x se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f x, se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.

Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto o un disco en el plano complejo se denomina función analítica.

                                     

4. Series de Maclaurin notables

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n!, ∀ x ; n ∈ N 0 {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad,\forall x;n\in \mathbb {N} _{0}} ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ − 1 n + 1 n x n, para | x | < 1 {\displaystyle \ln1+x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-1^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{, para }}\left|x\right|