ⓘ Ecuación diferencial de Clairaut. La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemático ​ francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación dife ..

                                     

ⓘ Ecuación diferencial de Clairaut

La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemático ​ francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

y x = x d y d x + f d y d x. {\displaystyle yx=x{\frac {dy}{dx}}+f\left{\frac {dy}{dx}}\right.}

Para resolver la ecuación, se diferencia respecto a x, ​ quedando:

d y d x = d y d x + x d 2 y d x 2 + f ′ d y d x d 2 y d x 2, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f\left{\frac {dy}{dx}}\right{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}

por tanto:

0 = x + f ′ d y d x) d 2 y d x 2 {\displaystyle 0=\leftx+f\left{\frac {dy}{dx}}\right\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}

y así:

0 = d 2 y d x 2 {\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}

y

0 = x + f ′ d y d x. {\displaystyle 0=x+f\left{\frac {dy}{dx}}\right.}

En el primer caso, C = dy / dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:

y x = C x + f C, {\displaystyle yx=Cx+fC,\,}

llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.

El otro caso,

0 = x + f ′ d y d x, {\displaystyle 0=x+f\left{\frac {dy}{dx}}\right,}

define sólo una solución y x, llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: x p, y p), donde p representa dy / dx.

                                     

1. Ejemplo

Resolver:

x y ‴ + y ‴ 2 = y ″. {\displaystyle xy+y^{2}=y.\,}

Se hace:

y ″ = p, {\displaystyle y=p,\,}

por tanto:

x p ′ + p ′ 2 = p, {\displaystyle xp+p^{2}=p,\,}

obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:

p = y ″ = C x + C 2, {\displaystyle p=y=Cx+C^{2},\,}

de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así:

y = ∫ ∫ y ″ d x d x = ∫ ∫ C x + C 2 d x d x = ∫ C x 2 + C 2 x + d x = C x 3 6 + C 2 x 2 + D x + E, {\displaystyle y=\\int y\,dxdx=\\int Cx+C^{2}\,dxdx=\int {\frac {Cx^{2}}{2}}+C^{2}x+D\,dx={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E,\,}

siendo D y E otras dos constantes cualquiera.

Solución:

y = C x 3 6 + C 2 x 2 + D x + E. {\displaystyle y={\frac {Cx^{3}}{6}}+{\frac {C^{2}x^{2}}{2}}+Dx+E.}