ⓘ Números pares e impares. En matemáticas, un número par es un número entero que es divisible entre dos. ​ Los números pares son: p a r e s = {. − 14, − 12, − 10, ..

                                     

ⓘ Números pares e impares

En matemáticas, un número par es un número entero que es divisible entre dos. ​

Los números pares son:

p a r e s = {. − 14, − 12, − 10, − 8, − 6, − 4, − 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. } {\displaystyle \mathrm {pares} =\{\;.\ -14,\ -12,\ -10,\ -8,\ -6,\;-4,\;-2,\;0,\;2,\;4,\;6,\;8,\ 10,\ 12,\ 14,\;.\;\}}

y los impares:

i m p a r e s = {., − 15, − 13, − 11, − 9, − 7, − 5, − 3, − 1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. } {\displaystyle \mathrm {impares} =\{\;.,\;\ -15,\ -13,\ -11,\ -9,\ -7,\ -5,\;-3,\;-1,\;1,\;3,\;5,\;7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\;.\;\}}

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar. ​ Comparativamente, dos números son "de la misma paridad" si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: "2" y "4", o "3" y "7"; son "de la misma paridad". Por el contrario los números "23" y "44" son "de distinta paridad".

Esta se complementa por una fácil fórmula:

par + par = par | par + impar = impar | impar + impar = par

                                     

1. Reconocimiento

Si la base de numeración utilizada es un número par por ejemplo, base 10 o base 8, un número par podrá reconocerse si su último dígito también es par. Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

352107706 10 {\displaystyle {352107706}_{10}}

es par ya que su último dígito: 6, también es par. Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

2145301354 6 = 23211718 10 {\displaystyle {2145301354}_{6}={23211718}_{10}}

Si la base del sistema de numeración es impar 3, 5, etc, el número será par si el número de dígitos con cifra impar es par, en cualquier otro caso el número será impar. Por ejemplo, en base 3:

120 3 = 15 10 {\displaystyle {120}_{3}={15}_{10}}

es impar, dado que el uno es la única cifra impar, mientras que:

321 5 = 86 10 {\displaystyle {321}_{5}={86}_{10}}

Como el 3 y el 1 son impares, hay un número par de cifras impares y el número es par.

                                     

2. Paridad del cero

El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los números pares.

  • El resto de la división de un número par entre un número par es par; nada se colige del cociente que puede tener cualquier paridad.
  • P 1 ⋅ I 1 = 2 a ⋅ 2 b + 1 = 2 a ⋅ 2 b + 2 a = 2 c + 2 a = 2 c + a = 2 n {\displaystyle P_{1}\cdot I_{1}=2a\cdot 2b+1=2a\cdot 2b+2a=2c+2a=2c+a=2n}
  • La potencias de base par son pares y recíprocamente si una potencia es par su base es par ​
  • P 1 ⋅ P 2 = 2 a ⋅ 2 b = 2 ⋅ a ⋅ b = 2 c = 2 n {\displaystyle P_{1}\cdot P_{2}=2a\cdot 2b=22\cdot a\cdot b=2c=2n}
  • I 1 ⋅ I 2 = 2 a + 1 ⋅ 2 b + 1 = 2 a ⋅ 2 b + 2 a + 2 b + 1 = 2 c + 2 a + 2 b + 1 = 2 c + a + b + 1 = 2 n + 1 {\displaystyle I_{1}\cdot I_{2}=2a+1\cdot 2b+1=2a\cdot 2b+2a+2b+1=2c+2a+2b+1=2c+a+b+1=2n+1}
  • I 1 + I 2 = 2 a + 1 + 2 b + 1 = 2 a + 2 b + 2 = 2 a + b + 1 = 2 n {\displaystyle I_{1}+I_{2}=2a+1+2b+1=2a+2b+2=2a+b+1=2n}
                                     

3. Propiedades con respecto la divisibilidad

  • Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente de paridad distinta de los otros dos.
  • Dos números enteros consecutivos tienen paridad diferente.
                                     

3.1. Propiedades con respecto la divisibilidad Tipos especiales de números pares

  • Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los números primoriales son pares.
  • Los números perfectos son pares.
  • Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci Leonardo de Pisa, Filius Bonacci, que aparece en su libro Liber Quadratorum 1225, un número congruente es de la forma m n m ² - n ², con m y n enteros positivos impares y m > n.
                                     

3.2. Propiedades con respecto la divisibilidad Tipos especiales de números impares

  • Los primos de la forma 4 ⋅ n + 3 {\displaystyle \ 4\cdot n+3} no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a 2 n + 1 {\displaystyle \ 2n+1}, donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.
  • Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
  • Los números primos de la forma 4 ⋅ n + 1 {\displaystyle \ 4\cdot n+1}, con un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o triángulo rectángulo diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.


                                     

3.3. Propiedades con respecto la divisibilidad Definiciones en desuso

En el libro 7 de los Elementos de Euclides ​ que explica así: "Cada uno de los números que es continuamente duplicado a partir de una díada es solamente un número parmente par."



                                     

4. Divisibilidad par

Sea el conjunto de los pares 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } = {0, 2, 4, 6, 8, 10.2 n., n cualquier natural}. ​

Máximo común divisor parmente

El mayor de los divisores comunes de dos elementos de 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } se llama máximo común divisor m.c.d.

Por ejemplo, m.c.d.32.48 = 8
                                     

5. Álgebra

  • El conjunto de los números naturales impares con la multiplicación es un semigrupo asociativo, con unidad.
  • El conjunto de los números enteros pares con la adición es un grupo abeliano, pues se cumplen: la clausura, asociatividad, existe el elemento neutro par el cero y para cada par existe su opuesto.
  • la suma de números naturales pares es par y cabe la propiedad asociativa, el conjunto de los números pares es un semigrupo conmutativo con la adición; si se admite 0 como natural, sería el elemento neutro aditivo par.
                                     

6. Paridad de potencias

  • Si a 2 es un número par entonces a es un número par. Esta propiedad se usa en la demostración de la irracionalidad de 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ​