ⓘ Fórmula de Moivre. La fórmula De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo x y para cualquier entero n se verifica qu ..

                                     

ⓘ Fórmula de Moivre

La fórmula De Moivre, nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo x y para cualquier entero n se verifica que

c o s x + i s i n x) n = c o s n x + i s i n x {\displaystyle cosx+isinx)^{n}=cosnx+isinnx}.

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos i significa unidad imaginaria con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cosnx y sennx en términos de cosx y senx. Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que z n = 1.

                                     

1. Historia

La forma actual de la fórmula aparece en la obra Introductio in analysin infinitorum ​ en su trabajo sobre las raíces n {\displaystyle n} -ésimas de números complejos. De hecho, los dos problemas están relacionados: escribir que cos x + i sin x n = cosnx + i sinnx es equivalente a decir que cos x + i sin x es una de las raíces enésimas del complejo cosnx + i sinnx.

                                     

2. Obtención

La fórmula de Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}

aplicando leyes de la exponenciación

e i x n = e i n x. {\displaystyle \lefte^{ix}\right^{n}=e^{inx}.\,}

Entonces, por la fórmula de Euler,

e i n x = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x {\displaystyle e^{inx}=\cosnx+i\sinnx\,}.
                                     

3. Algunos resultados

Partiendo nuevamente de la fórmula de Euler:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x}

Si hacemos que x = π {\displaystyle x=\pi } entonces tenemos la identidad de Euler:

e i π = cos ⁡ π + i sin ⁡ π = − 1 + 0 = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\sin \pi =-1+0=-1}

Es decir:

e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}

Además como tenemos estas dos igualdades:

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x\,} e − i x = cos ⁡ x − i sin ⁡ x {\displaystyle e^{-ix}=\cos x-\mathrm {i} \,\sin x\,}

podemos deducir lo siguiente:

cos ⁡ x = e i x + e − i x / 2 {\displaystyle \cos x=e^{ix}+e^{-ix}/2\,} sin ⁡ x = e i x − e − i x / 2 i {\displaystyle \sin x=e^{ix}-e^{-ix}/2\mathrm {i} \,}
                                     

4. Demostración por inducción

Consideramos tres casos.

Para un entero n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:

cos ⁡ x + i sin ⁡ x k = cos ⁡ k x + i sin ⁡ k x. {\displaystyle \left\cos x+i\sin x\right^{k}=\cos \leftkx\right+i\sin \leftkx\right.\,}

Ahora, considerando el caso n = k + 1:

cos ⁡ x + i sin ⁡ x k + 1 = cos ⁡ x + i sin ⁡ x k cos ⁡ x + i sin ⁡ x = \qquad {\mbox{por las identidades trigonométricas}}\end{alignedat}}}

Deducimos que el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n ≥1.

Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que cos ⁡ 0 x + i sin ⁡ 0 x = 1 + i 0 = 1 {\displaystyle \cos0x+i\sin0x=1+i0=1}, y por convención z 0 = 1 {\displaystyle z^{0}=1}.

Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = − m. Por lo tanto:

cos ⁡ x + i sin ⁡ x n = cos ⁡ x + i sin ⁡ x − m = 1 cos ⁡ x + i sin ⁡ x m = 1 cos ⁡ m x + i sin ⁡ m x = cos ⁡ m x − i sin ⁡ m x = cos ⁡ − m x + i sin ⁡ − m x = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x. {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left\cos x+i\sin x\right^{n}&=\left\cos x+i\sin x\right^{-m}\\&={\frac {1}{\left\cos x+i\sin x\right^{m}}}\\&={\frac {1}{\left\cos mx+i\sin mx\right}}\\&=\cos \leftmx\right-i\sin \leftmx\right\\&=\cos \left-mx\right+i\sin \left-mx\right\\&=\cos \leftnx\right+i\sin \leftnx\right.\end{alignedat}}}

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de n.



                                     

5. Generalización

La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si z y w son números complejos, entonces

cos ⁡ z + i sin ⁡ z w {\displaystyle \left\cos z+i\sin z\right^{w}}

es una función multivaluada mientras

cos ⁡ w z + i sin ⁡ w z {\displaystyle \coswz+i\sinwz\,}

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

cos ⁡ w z + i sin ⁡ w z {\displaystyle \coswz+i\sinwz\,} es un valor de cos ⁡ z + i sin ⁡ z w {\displaystyle \left\cos z+i\sin z\right^{w}\,}.
                                     

6. Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

z = r cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle z=r\left\cos x+i\sin x\right}

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar, siendo r {\displaystyle r} el módulo.

Potencia

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

z n = }

donde k {\displaystyle k} es un número entero que va desde 0 {\displaystyle 0} hasta n − 1 {\displaystyle n-1}, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las n {\displaystyle n} raíces diferentes de z {\displaystyle z}.