ⓘ Regla de lHôpital. En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de lHôpital o regla de lHôpital-Bernoulli ​ Esta regla recibe su nombr ..

                                     

ⓘ Regla de lHôpital

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de lHôpital o regla de lHôpital-Bernoulli ​

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de lHôpital 1661 - 1704, quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour lintelligence des lignes courbes 1696, el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró. ​

                                     

1. Enunciado

La regla de LHôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da solo en el caso de las indeterminaciones del tipo 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} o ∞ ∞ {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}. ​

  • Como g c = 0 {\displaystyle gc=0} y g ′ x ≠ 0 {\displaystyle gx\neq 0} si x ≠ c {\displaystyle x\neq c}, se tiene que g x ≠ 0 {\displaystyle gx\neq 0} si x ≠ c {\displaystyle x\neq c} como consecuencia del Teorema de Rolle.
  • Dado que f c= g c=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en a, b, con x distinto de c, existe t x en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f x/ g x se puede escribir de la siguiente manera

f x g x = f x − f c g x − g c = f ′ t x g ′ t x {\displaystyle {\cfrac {fx}{gx}}={\cfrac {fx-fc}{gx-gc}}={\cfrac {ft_{x}}{gt_{x}}}}

  • Cuando x tiende hacia c, igualando los valores de las igualdades de arriba, t x también tiende hacia c, así que

lim x → c f x g x = lim x → c f ′ t x g ′ t x = L {\displaystyle \lim _{x\to c}{\cfrac {fx}{gx}}=\lim _{x\to c}{\cfrac {ft_{x}}{gt_{x}}}=L}

Nota: el último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.

                                     

2. Ejemplos

La regla de lHôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que se deriva el numerador y el denominador por separado; es decir: sean las funciones originales f x/ g x, al aplicar la regla se obtendrá: fx / gx.

                                     

2.1. Ejemplos Aplicación sencilla

lim x → 0 sin ⁡ x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sinx}{x}}={\cfrac {0}{0}}} lim x → 0 sin ⁡ x → l ′ H o ^ p i t a l lim x → 0 cos ⁡ x 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sinx}{x}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {lH{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {\cosx}{1}}} = 1 = 1 {\displaystyle ={\frac {1}{1}}=1}
                                     

2.2. Ejemplos Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:

lim x → 0 e x − e − x − 2 x − sin ⁡ x {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}-2x}{x-\sinx}}} → l ′ H o ^ p i t a l lim x → 0 e x − − e − x − 2 1 − cos ⁡ x {\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {lH{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}--e^{-x}-2}{1-\cosx}}} → l ′ H o ^ p i t a l lim x → 0 e x − e − x sin ⁡ x {\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {lH{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{\sinx}}} → l ′ H o ^ p i t a l lim x → 0 e x − − e − x cos ⁡ x = e 0 + e − 0 cos ⁡ 0 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle {\xrightarrow {\mathrm {lH{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}--e^{-x}}{\cosx}}={\frac {e^{0}+e^{-0}}{\cos0}}={\frac {1+1}{1}}=2}
                                     

3. Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo 0 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {0}{0}}\end{matrix}}} mediante transformaciones algebraicas:

                                     

3.1. Adaptaciones algebraicas Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo ∞ ∞ {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\infty }{\infty }}\end{matrix}}} se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:

lim x → ∞ x 4 x = lim x → ∞ 1 x 1 x 4 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{4}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\cfrac {1}{x}}{\cfrac {1}{x^{4}}}}}

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo ∞ ∞ {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\infty }{\infty }}\end{matrix}}} también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de LHôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.



                                     

3.2. Adaptaciones algebraicas Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no se presentan como cocientes pueden ser resueltos con esta regla, recurriendo a transformaciones previas que lleven a un cociente del tipo 0 {\displaystyle {\cfrac {0}{0}}} o ∞ ∞ {\displaystyle {\cfrac {\infty }{\infty }}}.

  • Tipo 0 ⋅ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty }
Se trata de hacer una transformación como 0 ⋅ ∞ = 0 1 ∞ = 0 {\displaystyle 0\cdot \infty ={\cfrac {0}{\cfrac {1}{\infty }}}={\cfrac {0}{0}}} o 0 ⋅ ∞ = ∞ 1 0 = ∞ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty ={\cfrac {\infty }{\cfrac {1}{0}}}={\cfrac {\infty }{\infty }}}

El más clásico:

lim x → 0 x ⋅ log ⁡ x = lim x → 0 log ⁡ x 1 x → l ′ H o ^ p i t a l lim x → 0 1 x − 1 x 2 = lim x → 0 − x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}x\cdot \logx=\lim _{x\to 0}{\cfrac {\logx}{\cfrac {1}{x}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {lH{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\cfrac {\cfrac {1}{x}}{\cfrac {-1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to 0}-x=0}
  • Tipo ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty }
lim x → ∞ x − x 2 − x = {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=} = lim x → ∞ x + x 2 − x − x 2 − x + x 2 − x = lim x → ∞ x 2 − x 2 − x + x 2 − x = lim x → ∞ x + x 2 − x {\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\leftx+{\sqrt {x^{2}-x}}\right\leftx-{\sqrt {x^{2}-x}}\right}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{2}-x^{2}-x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}} = lim x → ∞ x ⏞ ∞ x + x 2 − x ⏟ ∞ = ∞ ∞ {\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\overbrace {x} ^{\infty }}{\underbrace {x+{\sqrt {x^{2}-x}}} _{\infty }}}={\cfrac {\infty }{\infty }}} lim x → ∞ x + x 2 − x → l ′ H o ^ p i t a l lim x → ∞ x ′ x + x 2 − x ′ = {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {lH{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=} = lim x → ∞ 1 + 2 x − 1 2 x 2 − x = 1 + 1 = 1 2 {\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\cfrac {1}{1+1}}={\cfrac {1}{2}}}


                                     

4. Generalizaciones

  • La regla de LHôpital vale para límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos.
  • La regla de LHôpital se puede extender a funciones escalares de n variables que sean diferenciables. Dadas dos funciones diferenciables f y g tales que f c = g c = 0, se tiene

lim x → c f x g x = lim x → c ∇ f x ⋅ x − c ∇ g x ⋅ x − c = lim x → c ‖ ∇ f x ‖ ‖ ∇ g x ‖ cos ⁡ θ f cos ⁡ θ g {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {f\mathbf {x}}{g\mathbf {x}}}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {\nabla f\mathbf {x}\cdot \mathbf {x-c}}{\nabla g\mathbf {x}\cdot \mathbf {x-c}}}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {c} }{\frac {\|\nabla f\mathbf {x}\|}{\|\nabla g\mathbf {x}\|}}\left{\frac {\cos \theta _{f}}{\cos \theta _{g}}}\right}

∇ f ∇ g {\displaystyle \nabla f\nabla g}, representan los gradientes de ambas funciones escalares. a ⋅ b {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }, representa el producto escalar de dos vectores. ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|}, representa la norma de un vector. θ f {\displaystyle \theta _{f}}, es el ángulo formado por el gradiente de f y el vector x − c {\displaystyle \mathbf {x-c} }. θ g {\displaystyle \theta _{g}}, es el ángulo formado por el gradiente de g y el vector x − c {\displaystyle \mathbf {x-c} }.