ⓘ Producto de Euler para la función zeta de Riemann. En 1737 Leonhard Euler demostró un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría de números enunciando ..

                                     

ⓘ Producto de Euler para la función zeta de Riemann

En 1737 Leonhard Euler demostró un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría de números enunciando el siguiente teorema:

Si se toma como variable s, esta serie o producto toma el nombre de función zeta de Riemann y se denota como ζs. Nótese que el producto se extiende sobre todos los números primos. A continuación se dan un par de demostraciones sobre este resultado, incluida la demostración original de Euler.

                                     

1. Demostración original de Euler

La demostración, escrita en 1737 y publicada en 1744, muestra una forma original de obtener el producto, utilizando una cierta forma de cribado. Para su obtención solamente se utilizan métodos elementales, con lo cual cualquier persona con nociones básicas sobre álgebra puede entenderla.

  • Se escribe
ζ s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + 1 5 s + ⋯ {\displaystyle \zeta s=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots }
  • Se multiplica ambos miembros por 1 2 s {\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}}, y queda
1 2 s ζ s = 1 2 s + 1 4 s + 1 6 s + 1 8 s + 1 10 s + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta s={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\cdots }
  • Restando la segunda serie la primera, eliminaremos todos los términos que son múltiplos de 2.
1 − 1 2 s ζ s = 1 + 1 3 s + 1 5 s + 1 7 s + 1 9 s + ⋯ {\displaystyle \left1-{\frac {1}{2^{s}}}\right\zeta s=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+\cdots }
  • Si repetimos sobre el siguiente término, 1 3 s {\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}}, obtenemos
1 3 s 1 − 1 2 s ζ s = 1 3 s + 1 9 s + 1 15 s + 21 s + 1 27 s + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left1-{\frac {1}{2^{s}}}\right\zeta s={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+\cdots }
  • Restando de nuevo, obtenemos
1 − 1 3 s 1 − 1 2 s ζ s = 1 + 1 5 s + 1 7 s + 11 s + 1 13 s + ⋯ {\displaystyle \left1-{\frac {1}{3^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{2^{s}}}\right\zeta s=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots }
  • Podemos ver que la parte de la derecha se está cribando, repitiendo este proceso indefidamente
⋯ 1 − 11 s 1 − 1 7 s 1 − 1 5 s 1 − 1 3 s 1 − 1 2 s ζ s = 1 {\displaystyle \cdots \left1-{\frac {1}{11^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{7^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{5^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{3^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{2^{s}}}\right\zeta s=1}
  • Dividiendo ambas partes por todo el producto obtenido que multiplica a ζs obtenemos
ζ s = 1 − 1 2 s 1 − 1 3 s 1 − 1 5 s 1 − 1 7 s 1 − 11 s ⋯ {\displaystyle \zeta s={\frac {1}{\left1-{\frac {1}{2^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{3^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{5^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{7^{s}}}\right\left1-{\frac {1}{11^{s}}}\right\cdots }}}

Esto puede escribirse de forma simplificada como producto sobre todos los números primos p:

ζ s = ∏ p 1 − p − s {\displaystyle \zeta s=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}

Para hacer rigurosa esta prueba, sólo es necesario observar que si es un número complejo tal que Res > 1, el miembro de la derecha el que se está cribando, tiende a 1,lo cual se muestra inmediatamente de la convergencia de la serie de Dirichlet para ζs.

◻ {\displaystyle \square }

                                     

2. Otra demostración

Esta demostración, más estricta, es la que se muestra a continuación:

  • Cada factor del producto dado por un número primo p, puede ser escrito en forma de serie geométrica así
∑ k = 0 ∞ z k = 1 − z | z | < 1, z ∈ C {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\quad |z| 1, entonces | p − s | < 1 {\displaystyle \left|p^{-s}\right|