ⓘ Ecuación de Pell. Una ecuación de Pell es una ecuación diofántica de la forma: x 2 − n y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-n\,y^{2}=1} Donde n es un número entero. La ..

                                     

ⓘ Ecuación de Pell

Una ecuación de Pell es una ecuación diofántica de la forma:

x 2 − n y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-n\,y^{2}=1}

Donde n es un número entero.

La pregunta de la existencia de soluciones no triviales diferentes de x=1 y y=0 de esta ecuación fue resuelta, con una respuesta pesimista para todo n cuadrado perfecto. Para n no cuadrado perfecto existen infinitas soluciones.

                                     

1. Historia

Las primeras ecuaciones tipo Pell se estudiaron hacia el año 400 a. C. por los griegos e indios. Estaban interesados en principio en la ecuación con n = 2

x 2 − 2 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-2\,y^{2}=1}

ya que la equivalencia de esta con la ecuación x 2 − 1 y 2 = 2 {\displaystyle {\dfrac {x^{2}-1}{y^{2}}}=2} muestra que si x, y son soluciones positivas, entonces x y {\displaystyle {\dfrac {x}{y}}} es una aproximación de 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}. Entre mayores sean x y y, mejor será la aproximación.

Estas ecuaciones fueron estudiadas ya por Arquímedes, de manera indirecta, al resolver el problema de las reses del sol. Aunque el matemático que trabajó formalmente en ellas fue Bhaskara I en el siglo VII. Por ejemplo, planteó el problema:

En notación moderna, preguntó por las soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 8 y 2 =1. Tiene la solución fundamental x = 3, y = 1, o acortado x, y = 3.1, a partir de las cuales se pueden construir más soluciones, por ejemplo, x, y = 17.6.

                                     

1.1. Historia Brahmagupta

La construcción se da gracias a los trabajos de Brahmagupta en el siglo VII con la ayuda de la identidad que lleva su nombre. En su forma general se ve así:

x 1 2 − n y 1 2 x 2 − n y 2 = x 1 x 2 + n y 1 y 2 − n x 1 y 2 + x 2 y 1 2 = x 1 x 2 − n y 1 y 2 − n x 1 y 2 − x 2 y 1 2 {\displaystyle x_{1}^{2}-n\,y_{1}^{2}x_{2}^{2}-n\,y_{2}^{2}=x_{1}x_{2}+n\,y_{1}y_{2}^{2}-n\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}^{2}=x_{1}x_{2}-n\,y_{1}y_{2}^{2}-n\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}^{2}}

Así, si {\displaystyle x_{1},y_{1},k_{1}} y {\displaystyle x_{2},y_{2},k_{2}} son soluciones de x 2 − m y 2 = k {\displaystyle x^{2}-m\,y^{2}=k} se pueden componer las dos triplas para generar las nuevas triplas x 1 x 2 + n y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1, k 1 k 2) {\displaystyle x_{1}x_{2}+n\,y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})} y x 1 x 2 − n y 1 y 2, x 1 y 2 − x 2 y 1, k 1 k 2) {\displaystyle x_{1}x_{2}-n\,y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}. De esta forma a partir de soluciones de la ecuación de Pell se obtienen nuevas soluciones. Brahmagupta mostró además que si la ecuación x 2 − n y 2 = k {\displaystyle x^{2}-n\,y^{2}=k} tiene soluciones para k = ± 1, ± 2, ± 4 {\displaystyle k=\pm 1,\pm 2,\pm 4} entonces la ecuación de Pell x 2 − n y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-n\,y^{2}=1} tiene soluciones. Sin embargo, no pudo desarrollar un método para solucionarla con n arbitrario.

                                     

1.2. Historia Bhaskara II

En el siglo XII Bhaskara II usó la identidad de Brahmagupta para crear un método que permitiría solucionar de manera general la ecuación de Pell. El llamado método de chakravala comienza con un tripla a, b, k {\displaystyle a,b,k} y la compone con la tripla trivial m, 1, m 2 − n {\displaystyle m,1,m^{2}-n} para obtener) {\displaystyle am+nb,a+bm,km^{2}-n)}. Esta última se puede reducir por el Lema de Bhaskara a:

{\displaystyle \left{\dfrac {am+nb}{k}},{\dfrac {a+bm}{k}},{\dfrac {m^{2}-n}{k}}\right}

Si m se escoge de tal manera que a + b m k {\displaystyle {\dfrac {a+bm}{k}}} sea entero, entonces los otros dos números de la tripla también lo son. El método escoge entonces un tal m que minimice | m 2 − n | {\displaystyle |m^{2}-n|} y procede a repetirse con los nuevos valores encontrados. Lagrange probó en 1768 que este método siempre termina en una solución con k =1, es decir, con una solución la ecuación de Pell para n arbitrario.

La denominación actual proviene de un error de Euler, quien atribuyó a John Pell 1610-1685 el estudio profundo de estas ecuaciones, cuando realmente fue William, Vizconde de Brouncker c. 1620-1684 el matemático que realizó el trabajo. Aunque Brouncker utilizó fracciones continuas y obtuvo soluciones fue Lagrange el matemático que demostró que tenía infinitas soluciones y pulió el método de la fracción continua.

Aunque esta ecuación se considera resuelta, no es posible decir que el problema haya sido solucionado exhaustivamente. Existen algunas dificultades. El hallazgo de soluciones se basa en el estudio de las unidades en el anillo Z ​



                                     

2. Existencia de soluciones

Paso 1

Aplicando el Teorema de aproximación de Dirichlet para α = n {\displaystyle \alpha ={\sqrt {n}}} y un entero B obtenemos que existen a 1 {\displaystyle a_{1}} y b 1 {\displaystyle b_{1}} tales que: | a 1 − b 1 n | < 1 B < 1 b 1 {\displaystyle \left|a_{1}-b_{1}{\sqrt {n}}\right|. > B k > B k − 1 >. > B 2 > B 1 {\displaystyle.> B_{k}> B_{k-1}>.> B_{2}> B_{1}}, que da lugar a sucesiones { a k } {\displaystyle \{a_{k}\}} y { b k } {\displaystyle \{b_{k}\}} tales que para cada i {\displaystyle i} se cumple: 1 B i + 1 < | a i − b i n | < 1 B i < 1 b i {\displaystyle {\dfrac {1}{B_{i}+1}}